2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ) 理科数学(必修+选修Ⅱ) 注意事项: 1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟. 2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上. 3. 选择题的每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹清楚 5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效. 6. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题) 本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 参考公式: 如果事件 互斥,那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立,那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 1. ( ) A. B. C. D. 2.函数 的一个单调增区间是( ) A. B. C. D. 3.设复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 4.下列四个数中最大的是( ) A. B. C. D. 5.在 中,已知 是 边上一点,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 6.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 7.已知正三棱柱 的侧棱长与底面边长相等,则 与侧面 所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 8.已知曲线 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D. 9.把函数 的图像按向量 平移,得到 的图像,则 ( ) A. B. C. D. 10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A.40种 B.60种 C.100种 D.120种 11.设 分别是双曲线 的左、右焦点,若双曲线上存在点 ,使 且 ,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 12.设 为抛物线 的焦点, 为该抛物线上三点,若 ,则 ( ) A.9 B.6 C.4 D.3 第Ⅱ卷(非选择题) 本卷共10题,共90分 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 的展开式中常数项为 .(用数字作答) 14.在某项测量中,测量结果 服从正态分布 .若 在 内取值的概率为0.4,则 在 内取值的概率为 . 15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm . 16.已知数列的通项 ,其前 项和为 ,则 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,周长为 . (1)求函数 的解析式和定义域; (2)求 的最大值. 18.(本小题满分12分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件 :“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 . (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ; (2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件, 表示取出的2件产品中二等品的件数,求 的分布列. 19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, 侧棱 底面 分别为 的中点. (1)证明 平面 ; (2)设 ,求二面角 的大小. 20.(本小题满分12分) 在直角坐标系 中,以 为圆心的圆与直线 相切. (1)求圆 的方程; (2)圆 与 轴相交于 两点,圆内的动点 使 成等比数列,求 的取值范围. 21.(本小题满分12分) 设数列 的首项 . (1)求 的通项公式; (2)设 ,证明 ,其中 为正整数. 22.(本小题满分12分) 已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程; (2)设 ,如果过点 可作曲线 的三条切线,证明: . 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.B 12.B 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:(1) 的内角和 ,由 得 . 应用正弦定理,知 , . 因为 , 所以 , (2)因为 , 所以,当 ,即 时, 取得最大值 . 18.解:(1)记 表示事件“取出的2件产品中无二等品”, 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”. 则 互斥,且 ,故 于是 . 解得 (舍去). (2) 的可能取值为 . 若该批产品共100件,由(1)知其二等品有 件,故 . . . 所以 的分布列为 0 1 2 19.解法一: (1)作 交 于点 ,则 为 的中点. 连结 ,又 , 故 为平行四边形. ,又 平面 平面 . 所以 平面 . (2)不妨设 ,则 为等 腰直角三角形. 取 中点 ,连结 ,则 . 又 平面 ,所以 ,而 , 所以 面 . 取 中点 ,连结 ,则 . 连结 ,则 . 故 为二面角 的平面角 . 所以二面角 的大小为 . 解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系 . 设 ,则 , . 取 的中点 ,则 . 平面 平面 , 所以 平面 . (2)不妨设 ,则 . 中点 又 , , 所以向量 和 的夹角等于二面角 的平面角. . 所以二面角 的大小为 . 20.解:(1)依题设,圆 的半径 等于原点 到直线 的距离, 即 . 得圆 的方程为 . (2)不妨设 .由 即得 . 设 ,由 成等比数列,得 , 即 . 由于点 在圆 内,故 由此得 . 所以 的取值范围为 . 21.解:(1)由 整理得 . 又 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,得 (2)方法一: 由(1)可知 ,故 . 那么, 又由(1)知 且 ,故 , 因此 为正整数. 方法二: 由(1)可知 , 因为 , 所以 . 由 可得 , 即 两边开平方得 . 即 为正整数. 22.解:(1)求函数 的导数; . 曲线 在点 处的切线方程为: , 即 . (2)如果有一条切线过点 ,则存在 ,使 . 于是,若过点 可作曲线 的三条切线,则方程 有三个相异的实数根. 记 , 则 . 当 变化时, 变化情况如下表: 0 0 0 极大值 极小值 由 的单调性,当极大值 或极小值 时,方程 最多有一个实数根; 当 时,解方程 得 ,即方程 只有两个相异的实数根; 当 时,解方程 得 ,即方程 只有两个相异的实数根. 综上,如果过 可作曲线 三条切线,即 有三个相异的实数根,则 即 . 更多江西高考资讯,请浏览江西高考网:http://www.ad119.cn/?category-176.html |