2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 1．设集合 ， （ ） A． B． C． D． 2．设 且 ，若复数 是实数，则（ ） A． B． C． D． 3．函数 的图像关于（ ） A． 轴对称 B． 直线 对称 C． 坐标原点对称 D． 直线 对称 4．若 ，则（ ） A． < < B． < < C． < < D． < < 5．设变量 满足约束条件： ，则 的最小值（ ） A． B． C． D． 6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A． B． C． D． 7． 的展开式中 的系数是（ ） A． B． C．3 D．4 8．若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则 的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 9．设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则 所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 与 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A．3 B．2 C． D． 12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A．1 B． C． D．2 2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量 ，若向量 与向量 共线，则 ． 14．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ． 15．已知 是抛物线 的焦点，过 且斜率为1的直线交 于 两点．设 ，则 与 的比值等于 ． 16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在 中， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 的面积 ，求 的长． 18．（本小题满分12分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为 ． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 ； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱 中， ，点 在 上且 ． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小． 20．（本小题满分12分） 设数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ． （Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）求四边形 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数 ． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围． 2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 选修Ⅱ）参考答案和评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题 13．2 14．2 5． 16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）由 ，得 ， 由 ，得 ． 所以 ． 5分 （Ⅱ）由 得 ， 由（Ⅰ）知 ， 故 ， 8分 又 ， 故 ， ． 所以 ． 10分 18．解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 ，记投保的10 000人中出险的人数为 ， 则 ． （Ⅰ）记 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则 发生当且仅当 ， 2分 ， 又 ， 故 ． 5分 （Ⅱ）该险种总收入为 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望为 ， 9分 由 知， ， ． （元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分 19．解法一： 依题设知 ， ． （Ⅰ）连结 交 于点 ，则 ． 由三垂线定理知， ． 3分 在平面 内，连结 交 于点 ， 由于 ， 故 ， ， 与 互余． 于是 ． 与平面 内两条相交直线 都垂直， 所以 平面 ． 6分 （Ⅱ）作 ，垂足为 ，连结 ．由三垂线定理知 ， 故 是二面角 的平面角． 8分 ， ， ． ， ． 又 ， ． ． 所以二面角 的大小为 ． 12分 解法二： 以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 ． 依题设， ． ， ． 3分 （Ⅰ）因为 ， ， 故 ， ． 又 ， 所以 平面 ． 6分 （Ⅱ）设向量 是平面 的法向量，则 ， ． 故 ， ． 令 ，则 ， ， ． 9分 等于二面角 的平面角， ． 所以二面角 的大小为 ． 12分 20．解： （Ⅰ）依题意， ，即 ， 由此得 ． 4分 因此，所求通项公式为 ， ．① 6分 （Ⅱ）由①知 ， ， 于是，当 时， ， ， 当 时， ． 又 ． 综上，所求的 的取值范围是 ． 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为 ， 直线 的方程分别为 ， ． 2分 如图，设 ，其中 ， 且 满足方程 ， 故 ．① 由 知 ，得 ； 由 在 上知 ，得 ． 所以 ， 化简得 ， 解得 或 ． 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点 到 的距离分别为 ， ． 9分 又 ，所以四边形 的面积为 ， 当 ，即当 时，上式取等号．所以 的最大值为 ． 12分 解法二：由题设， ， ． 设 ， ，由①得 ， ， 故四边形 的面积为 9分 ， 当 时，上式取等号．所以 的最大值为 ． 12分 22．解： （Ⅰ） ． 2分 当 （ ）时， ，即 ； 当 （ ）时， ，即 ． 因此 在每一个区间 （ ）是增函数， 在每一个区间 （ ）是减函数． 6分 （Ⅱ）令 ，则 ． 故当 时， ． 又 ，所以当 时， ，即 ． 9分 当 时，令 ，则 ． 故当 时， ． 因此 在 上单调增加． 故当 时， ， 即 ． 于是，当 时， ． 当 时，有 ． 因此， 的取值范围是 ． 12分 更多江西高考资讯，请浏览江西高考网：http://www.ad119.cn/?category-176.html |
