2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 （1） 是第四象限角， ，则 （ ） A． B． C． D． （2）设 是实数，且 是实数，则 （ ） A． B． C． D． （3）已知向量 ， ，则 与 （ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． （5）设 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． （6）下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表示的平面区域内的点是（ ） A． B． C． D． （7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． （8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ） A． B． C． D． （9） ， 是定义在 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 （10） 的展开式中，常数项为 ，则 （ ） A． B． C． D． （11）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ） A． B． C． D． （12）函数 的一个单调增区间是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ． （15）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ． （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ； （Ⅱ）求 的分布列及期望 ． （19）（本小题满分12分） 四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ． （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小． （20）（本小题满分12分） 设函数 ． （Ⅰ）证明： 的导数 ； （Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围． （21）（本小题满分12分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为 ． （Ⅰ）设 点的坐标为 ，证明： ； （Ⅱ）求四边形 的面积的最小值． （22）（本小题满分12分） 已知数列 中 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）若数列 中 ， ， ， 证明： ， ． 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题： （13） （14） （15） （16） 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ． （Ⅱ） ． 由 为锐角三角形知， ， ． ， 所以 ． 由此有 ， 所以， 的取值范围为 ． （18）解： （Ⅰ）由 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ， ． （Ⅱ） 的可能取值为 元， 元， 元． ， ， ． 的分布列为 （元）． （19）解法一： （Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 ． 因为 ，所以 ， 又 ，故 为等腰直角三角形， ， 由三垂线定理，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，依题设 ， 故 ，由 ， ， ，得 ， ． 的面积 ． 连结 ，得 的面积 设 到平面 的距离为 ，由于 ，得 ， 解得 ． 设 与平面 所成角为 ，则 ． 所以，直线 与平面 所成的我为 ． 解法二： （Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 ． 因为 ，所以 ． 又 ， 为等腰直角三角形， ． 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ． （Ⅱ）取 中点 ， ， 连结 ，取 中点 ，连结 ， ． ， ， ． ， ， 与平面 内两条相交直线 ， 垂直． 所以 平面 ， 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，则 与 互余． ， ． ， ， 所以，直线 与平面 所成的角为 ． （20）解： （Ⅰ） 的导数 ． 由于 ，故 ． （当且仅当 时，等号成立）． （Ⅱ）令 ，则 ， （ⅰ）若 ，当 时， ， 故 在 上为增函数， 所以， 时， ，即 ． （ⅱ）若 ，方程 的正根为 ， 此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数． 所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是 ． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距 ， 由 知点 在以线段 为直径的圆上，故 ， 所以， ． （Ⅱ）（ⅰ）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 ． 设 ， ，则 ， ； 因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ， 所以， ． 四边形 的面积 ． 当 时，上式取等号． （ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ． 综上，四边形 的面积的最小值为 ． （22）解： （Ⅰ）由题设： ， ． 所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， 即 的通项公式为 ， ． （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当 时，因 ， ，所以 ，结论成立． （ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ， 也即 ． 当 时， ， 又 ， 所以 ． 也就是说，当 时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ． 更多江西高考资讯，请浏览江西高考网：http://www.ad119.cn/?category-176.html |
