2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 （1）设 ， ，则 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （2） 是第四象限角， ， （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （3）已知向量 ， ，则 与 （ ） Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （5）甲、乙、丙 位同学选修课程，从 门课程中，甲选修 门，乙、丙各选修 门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ． 种 Ｂ． 种 Ｃ． 种 Ｄ． 种 （6）下面给出四个点中，位于 表示的平面区域内的点是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （9） ， 是定义在 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”是“ 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件 （10）函数 的一个单调增区间是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （11）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （12）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 袋，测得各袋的质量分别为（单位： ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____． （14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 ____________． （15）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________． （16）等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若 ， ，求b． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元． （Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分） 四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知 ， ， ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． （20）（本小题满分12分） 设函数 在 及 时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围． （21）（本小题满分12分） 设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， ， （Ⅰ）求 ， 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前n项和 ． （22）（本小题满分12分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于B，D两点，过 的直线交椭圆于A，C两点，且 ，垂足为P． （Ⅰ）设P点的坐标为 ，证明： ； （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修＋选修1）参考答案 一、选择题 1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ． （Ⅱ）根据余弦定理，得 ． 所以， ． 18．解： （Ⅰ）记 表示事件：“ 位顾客中至少 位采用一次性付款”，则 表示事件：“ 位顾客中无人采用一次性付款”． ， ． （Ⅱ）记 表示事件：“ 位顾客每人购买 件该商品，商场获得利润不超过 元”． 表示事件：“购买该商品的 位顾客中无人采用分期付款”． 表示事件：“购买该商品的 位顾客中恰有 位采用分期付款”． 则 ． ， ． ． 19．解法一： （1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面 ． 因为 ，所以 ， 又 ，故 为等腰直角三角形， ， 由三垂线定理，得 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 依题设 ， 故 ，由 ， ， ． 又 ，作 ，垂足为 ， 则 平面 ，连结 ． 为直线 与平面 所成的角． 所以，直线 与平面 所成的角为 ． 解法二： （Ⅰ）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面 ． 因为 ，所以 ． 又 ， 为等腰直角三角形， ． 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ， 因为 ， ， 又 ，所以 ， ， ． ， ， ， ，所以 ． （Ⅱ） ， . 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，因为 为平面 的法向量，所以 与 互余． ， ， 所以，直线 与平面 所成的角为 ． 20．解： （Ⅰ） ， 因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ． 即 解得 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ． 则当 时， 的最大值为 ． 因为对于任意的 ，有 恒成立， 所以 ， 解得 或 ， 因此 的取值范围为 ． 21．解： （Ⅰ）设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且 解得 ， ． 所以 ， ． （Ⅱ） ． ，① ，② ②－①得 ， ． 22．证明 （Ⅰ）椭圆的半焦距 ， 由 知点 在以线段 为直径的圆上， 故 ， 所以， ． （Ⅱ）（ⅰ）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程 ，并化简得 ． 设 ， ，则 ， ， ； 因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ． 所以， ． 四边形 的面积 ． 当 时，上式取等号． （ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 ． 综上，四边形 的面积的最小值为 ． 更多江西高考资讯，请浏览江西高考网：http://www.ad119.cn/?category-176.html |
