2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一、选择题 1．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ） 3．在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．设 ，且 为正实数，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知等差数列 满足 ， ，则它的前10项的和 （ ） A．138 B．135 C．95 D．23 6．若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （ ） A．e2x-1 B．e2x C．e2x+1 D． e2x+2 7．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ） A．2 B． C． D． 8．为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ） A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 9．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 10．若直线 通过点 ，则（ ） A． B． C． D． 11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 12．如图，一环形花坛分成 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 选修Ⅰ） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共10小题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） 13．13．若 满足约束条件 则 的最大值为 ． 14．已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 15．在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 ． 16．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） 设 的内角 所对的边长分别为a、b、c，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的大小． 19．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围． 20．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望． 21．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） 设函数 ．数列 满足 ， ． （Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ． 参考答案 一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D． 11.B． 12.B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9． 14. 答案：2. 15.答案： . 16.答案： . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 a= acosB-bcosA=( )c = = = 依题设得 解得tanAcotB=4 (II)由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0 tan(A-B)= = ≤ ， 且当tanB= 时，上式取等号，因此tan(A-B)的最大值为 18．解： (I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点， 由 知，Rt△OCD∽Rt△CDE， 从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD， 由三垂线定理知，AD⊥CE （II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE 侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。 作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE 故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE= ，得CF= 又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。 由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C， 故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。 CG= GE= cos∠CGE= 所以二面角C-AD-E为arccos( ) 解法二： （I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz. 设A（0,0,t），由已知条件有 C(1,0,0), D(1, ,0), E(-1, ,0), 所以 ，得AD⊥CE （II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE， 设F（x,0,z）则 =(x-1,0,z), 故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE， ∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45° 由CE= ，得CF= 又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0， ） 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|= |AD| 故G[ ] 又 所以 的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。 由cos( )= 知二面角C-AD-E为arccos( ) （19）解： （Ⅰ）f´(x)=3x2+2ax+1，判别式Δ=4(a2-3) （i）若a> 或a< ，则在 上f´(x)>0，f(x)是增函数； 在 内f´(x)<0，f(x)是减函数； 在 上f´(x)>0，f(x)是增函数。 （ii）若 （iii）若a= ，则f´( )=0，且对所有的x≠ 都有f´(x)>0，故当a= 时，f(x)在R上是增函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a> 或a< 时，f(x)在 内是减函数。 因此 ≤ ① 且 ≥ ② 当|a|> 时，由①、②解得a≥2 因此a的取值范围是[2,+∞）。 （20）解： 记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次， B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次， A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独立。 （Ⅰ） ， ， 。 P( )=P(A1+A2•B2) =P(A1)+P(A2•B2) =P(A1)+P(A2)•P(B2) = = 所以 P(A)=1-P( )= =0.72 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3. P(B1)= ，P(B2)= ，P(ξ=2)=P(B1)= ，P(ξ=3)=P(B2)= ， 所以Eξ= （次）。 （21）解： （Ⅰ）设双曲线方程为 (a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c2=a2+b2 不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0 则 ， 。 因为 2+ 2= 2，且 =2 - ， 所以 2+ 2=(2 - )2， 于是得tan∠AOB= 。 又 与 同向，故∠AOF= ∠AOB， 所以 解得 tan∠AOF= ，或tan∠AOF=-2（舍去）。 因此 。 所以双曲线的离心率e= = （Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 ① 由l1的斜率为 ，c= b知，直线AB的方程为 y=-2(x- b) ② 将②代入①并化简，得 15x2-32 bx+84b2=0 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则 x1+x2= ，x1•x2= ③ AB被双曲线所截得的线段长 l= ④ 将③代入④，并化简得l= ，而由已知l=4，故b=3，a=6 所以双曲线的方程为 22、解： （I）当0 f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0 所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数， （II）当0 又由（I）有f(x)在x=1处连续知， 当0 因此，当0 下面用数学归纳法证明： 0 (i)由0 (ii)假设n=k时，不等式②成立，即0 则由①可得0 故当n=k+1时，不等式②也成立 综合(i)(ii)证得：an (III)由（II）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若am amlnam≤a1lnam ak+1=ak-aklnak =ak-1-ak-1lnak-1-aklnak …… =a1- amlnam 由③知 amlnam 于是ak+1>a1+k|a1lnb| ≥a1+(b-a1) =b 更多江西高考资讯，请浏览江西高考网：http://www.ad119.cn/?category-176.html |
